Função Polinomial do 1º Grau (Função Afim)

Exemplo de uma função afim.

 

Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo ${\displaystyle ox.}$ Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear (${\displaystyle Ax}$) seguida por uma translação (${\displaystyle +b}$).

${\displaystyle x\mapsto Ax+b}$

no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz A com uma coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:

1. Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
2. relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$, ${\displaystyle ||p_{2}-p_{1}||/||p_{3}-p_{2}||}$

Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.

Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.

Definição Formal

Uma função ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ chama-se função afim quando existe dois números reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tal que ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ e ${\displaystyle a\neq 0,}$ para todo $$

Coeficientes

Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a inclinação da reta que representa a função.

O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

Função Linear

Uma função linear é um caso particular da função afim onde ${\displaystyle a\neq 0}$ e ${\displaystyle b=0,}$ sendo, portanto, expressa como:

${\displaystyle f(x)=ax.}$

Veja na figura abaixo um exemplo de gráfico de função linear.

Esboço do gráfico da função f(x)=2x, um exemplo de função linear

Um caso específico da função linear é a função identidade, onde ${\displaystyle a=1.}$ Logo a função identidade é expressa como:

${\displaystyle f(x)=x.}$

Observe na figura abaixo um exemplo de gráfico de função identidade.

Esboço do gráfico da função f(x)=x, a função identidade

Função Linear e Proporcionalidade

Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.

Assim, seja a função linear ${\displaystyle f(x)=ax,}$ vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo ${\displaystyle (x,ax),}$ onde ${\displaystyle a}$ é a razão entre ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle x.}$

Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

Crescimento e Decrescimento 

Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.

Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, 

Esboço do gráfico da função f(x)=2x+1, um exemplo de função afim crescente

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja, 

Esboço do gráfico da função afim f(x)=-2x+1, um exemplo de função afim decrescente.

Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja  Nesse caso a equação que define a função é dada por  e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo 

Esboço do gráfico da função f(x)=2, um exemplo de função constante

Zero

O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de  para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.

Para definir este ponto basta resolver a equação ${\displaystyle ax+b=0:}$

Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é ${\displaystyle \left({\frac {-b}{a}},0\right).}$

Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo ${\displaystyle oy}$). Para definir este ponto de corte basta calcular ${\displaystyle f(0):}$

${\displaystyle f(0)=a.0+b=b.}$

Logo o ponto de corte no eixo y é ${\displaystyle (0,b).}$

Pontos de corte com os eixos em uma função afim

Fonte: Wikipédia