Função Polinomial do 1º Grau (Função Afim)

Exemplo de uma função afim.

 
Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo  cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo  Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear () seguida por uma translação ().
no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz com uma coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:
  1. Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
  2. relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos 
Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.
Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.

Definição Formal
Uma função  chama-se função afim quando existe dois números reais  e  tal que  e  para todo 

Coeficientes
Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a inclinação da reta que representa a função.
O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

Função Linear
Uma função linear é um caso particular da função afim onde  e  sendo, portanto, expressa como:
Veja na figura abaixo um exemplo de gráfico de função linear.


Esboço do gráfico da função f(x)=2x, um exemplo de função linear

Um caso específico da função linear é a função identidade, onde  Logo a função identidade é expressa como:
Observe na figura abaixo um exemplo de gráfico de função identidade.
Esboço do gráfico da função f(x)=x, a função identidade

Função Linear e Proporcionalidade
Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.
Assim, seja a função linear  vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo  onde  é a razão entre  e 
Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

Crescimento e Decrescimento 
Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.
Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, 
Esboço do gráfico da função f(x)=2x+1, um exemplo de função afim crescente

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja, 
Esboço do gráfico da função afim f(x)=-2x+1, um exemplo de função afim decrescente.

Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja  Nesse caso a equação que define a função é dada por  e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo 

Esboço do gráfico da função f(x)=2, um exemplo de função constante

Zero
O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de  para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.
Para definir este ponto basta resolver a equação 
Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é 
Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo ). Para definir este ponto de corte basta calcular 
Logo o ponto de corte no eixo y é 

Pontos de corte com os eixos em uma função afim
Fonte: Wikipédia

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