#SuperReforçoEmSuaCasa: Polígonos Inscritos e Circunscritos

Polígonos inscritos são aqueles que estão no interior de uma circunferência, de modo que todos os seus vértices são pontos dela. Já os polígonos circunscritos estão no exterior de uma circunferência e apresentam todos os seus lados tangentes a ela. Observe as seguintes imagens:

Veja que todos os vértices do hexágono acima também são pontos pertencentes à circunferência ao seu redor. É nessa situação que dizemos que o hexágono é inscrito na circunferência ou que a circunferência circunscreve o polígono.

Nessa segunda imagem, é o polígono que circunscreve a circunferência. Também podemos dizer, nesse caso, que a circunferência está inscrita no polígono. Observe que, para isso, todos os lados do polígono são tangentes à circunferência.

Elementos do polígono regular inscrito

• Centro do polígono regular

É o centro da circunferência onde esse polígono está inscrito. Pode ser encontrado a partir do ponto de encontro entre duas mediatrizes de lados distintos do polígono.

• Raio do polígono regular

É o elemento que parte do centro de um polígono regular até um de seus vértices e tem a mesma medida do raio da circunferência na qual o polígono regular está inscrito.

• Apótema

É o segmento de reta que liga o centro de um polígono regular ao ponto médio de um de seus lados. A apótema sempre forma um ângulo reto com o lado do polígono que ela toca.

Exemplo de centro, raio e apótema do polígono regular

Nessa imagem, r é o raio do polígono regular inscrito, o ponto O é seu centro e o segmento a é apótema.

Propriedades

As propriedades a seguir são válidas apenas para polígonos regulares, isto é, polígonos que possuem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos congruentes.

1 – Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência;

2 – Todo polígono regular pode ser circunscrito em uma circunferência;

3 – As mediatrizes dos lados de um polígono regular encontram-se no centro da circunferência que o circunscreve;

Em outras palavras, se um polígono regular está inscrito em uma circunferência, as mediatrizes de seus lados encontram-se no centro da circunferência, também chamado centro do polígono inscrito. A imagem a seguir ilustra essa situação:

4 – Em um polígono regular inscrito em uma circunferência, todos os ângulos centrais, cujos lados são formados por dois raios consecutivos do polígono regular inscrito, são congruentes. Além disso, é possível determinar sua medida dividindo 360° pelo número de lados do polígono.

Ângulo cujos lados são raios consecutivos do polígono regular inscrito

Autor: Luiz Paulo Moreira - Graduado em Matemática

Fonte: Escola Kids

#SuperReforçoEmSuaCasa: Porcentagens (7º Ano Fundamental)

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%.
  Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00.
  

• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
  Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00.
  

• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
  Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
  

Razão centesimal 

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos

• Calcular 10% de 300.
  
     

• Calcular 25% de 200kg.
  
  
  Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
  

Exercícios

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Fonte: Só Matemática

#SuperReforcoEmSuaCasa: Critérios de Divisibilidade (6º Ano Fundamental)

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:1800 é divisível por 4, pois termina em 00.4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 7:

Esse critério é diferente dos demais, mas é bem simples. Para verificarmos se um número é divisível por 7, basta multiplicar o último algarismo por 2 e com o resultado subtrair dos números que sobraram (não incluir o último), se esse resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Se o número foi grande, repetir o processo até conseguir verificar se o número é divisível por 7. Segue o exemplo:

574: separar o último número e multiplicar por 2 => 4 x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que sobrou 57 – 8 = 49. Como 49 é divisível por 7, então, o número 574 é divisível por 7.

7.644: separar o último número de multiplicar por 2 => 4 x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que sobrou 764 – 8 = 756. Como o número é grande, repetimos o processo. Separar o último número de multiplicar por 2 => 6x 2 = 12; desse resultado, subtrair do número que sobrou 75 – 12 = 63. Como 63 é divisível por 7, então o número 7.644 é divisível por 7.

Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:1) 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Fontes: Só Matemática e Brasil Escola

#SuperReforcoEmSuaCasa: Substantivos

O substantivo é a classe de palavras que dá nome a seres, coisas, sentimentos, processos, estados, fenômenos, substâncias, entre outros. Por isso, é uma classe com muitas palavras e é subdividida de acordo com as características daquilo que nomeia. Os substantivos são variáveis em gênero (masculino ou feminino), número (singular ou plural) e grau (aumentativo e diminutivo).

 

Classificação dos substantivos

Os substantivos são classificados em: comum ou próprio; concreto ou abstrato; primitivo ou derivado; simples ou composto. Podem, ainda, ser substantivos coletivos. Vamos entender essas classificações.

• Substantivos comuns e substantivos próprios
• Substantivo comum: é o nome comum e generalizado que se dá a uma espécie ou categoria de ser ou coisa, podendo ser aplicado ao grupo inteiro da mesma espécie ou categoria. Costuma estar em letra minúscula.
• Substantivo próprio: é o nome específico que se dá a um (ou alguns) indivíduo(s), lugar(es), marca(s), entre outros. O nome próprio serve para identificar um substantivo em relação aos demais, tornando-o inconfundível. Costuma estar em letra maiúscula.

substantivo
comum	próprio
cachorro	Doug
país	Brasil
escritor	Carolina de Jesus
deus	Afrodite
refrigerante	Coca-Cola
planeta	Terra

 

• O meu cachorro é engraçado.
• O Doug é engraçado.

Nas duas sentenças, “cachorro” é um substantivo comum, pois é o nome que se refere a todo e qualquer cachorro. “Doug” é um substantivo próprio, pois refere-se a um cachorro especificamente.

• Substantivos concretos e substantivos abstratos

• Substantivo concreto: sua existência é própria e independente, podendo ser fisicamente (como no caso de seres vivos, objetos inanimados, fenômenos concretos e palpáveis na realidade) ou mentalmente. Assim, mesmo seres imaginários podem ser concretos, a partir do momento em que ganham forma no pensamento e são imaginados como dotados de existência própria.
• Substantivo abstrato: é aquele que depende de um ser concreto para existir, isto é, para ser produzido. A existência do substantivo abstrato está atrelada a outro substantivo concreto e totalmente dependente dele, como no caso de sentimentos, anseios ou fenômenos não palpáveis.

substantivo
concreto	abstrato
cimento	imaginação
saci-pererê	mitologia
dragão	medo
água	sede
professor	ensino
ser humano	vida

 

• Imaginou um anjo no céu.
• A fé dela era inabalável.

Nas sentenças, “anjo” é um substantivo concreto por representar um ser que, independentemente de ser real ou imaginado, apresenta-se como dotado de existência própria. Por outro lado, “fé” é um substantivo abstrato, pois não é um ser independente, mas depende de outro ser concreto (“ela”, ou seja, uma pessoa) para existir.

• Substantivos primitivos e substantivos derivados
• Substantivo primitivo: é aquele cujo nome não se origina de outro nome. Por isso, é um nome que pode originar outros nomes.
• Substantivo derivado: é aquele cujo nome origina-se de outro. Essa origem dá-se comumente por meio do radical de um substantivo primitivo.

substantivo
primitivo	derivado
pedra	pedreiro
flor	floricultura
lenha	lenhador
rato	ratoeira
terra	terreno
fogo	fogueira

• Substantivos simples e substantivos compostos

• Substantivo simples: é aquele que apresenta apenas um radical em sua forma.
• Substantivo composto: é aquele que apresenta mais de um radical em sua forma. Pode ser formado pela junção de duas ou mais palavras, que se transformam em uma só por justaposição (nesse caso, ligadas por hífen) ou por aglutinação.

substantivo
simples	composto
roupa	guarda-roupa
queda	paraquedas
sol	girassol
flor	beija-flor
retrato	autorretrato
plano	planalto
segundo	segunda-feira

• Substantivos coletivos

São nomes usados para representar um grande conjunto de seres ou de objetos de uma mesma espécie ou classificação. O coletivo fica no singular por já representar a ideia de um grupo, ou seja, de múltiplos seres.

substantivo
individual	coletivo
pessoa	povo, sociedade
animais de uma mesma região	fauna
plantas de uma mesma região	flora
árvore	floresta
ilha	arquipélago
músico	banda
pássaro	bando

• Vimos vários pássaros voando para lá.
• Vimos um bando voando para lá.

 

Fonte: Escola Kids