Domínio e imagem de uma função

O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x  A estiver associado a um elemento y  B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

Observe o domínio e a imagem na função abaixo.

Outro exemplo: se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2, então temos que:

• A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;
• A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2.

Em uma função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. Segundo o conceito de função, existem duas condições para que uma relação f seja uma função:

1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função.

2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de Apartir mais de uma flecha, a relação não é função.

Observações:

• Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.
• A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.
• Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).

Exercícios resolvidos

1) Considere a função f: A  B representada pelo diagrama a seguir:

Determine:

a) o domínio (D) de f;

b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);

c) o conjunto imagem (Im) de f;

d) a lei de associação

Resolução:

a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A.

b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.

c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: 

Im = {1,4,9}.

d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

2) Dada a função f: IRIR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

a) f(2), f(3) e f(0);
b) o valor de x cuja imagem vale 2.

Resolução:

a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0

f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0

f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. 

Utilizando a fórmula de Bháskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

Fonte: Só Matemática