Geometria é uma das matérias mais frequentes na prova de Matemática do Enem e nos vestibulares do país. Por isso, preparamos uma revisão para você. A seguir, veja um resumo com as informações mais importantes e as principais fórmulas sobre Geometria plana, espacial e analítica (no final do post).
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O que é Geometria?
Geometria é a área da Matemática que estuda as formas dos objetos, analisa suas dimensões e suas posições. A palavra é formada por “geo” (terra) + “metria” (medida), então significa medida da terra.
Acredita-se que a Geometria nasceu em diferentes lugares a partir do século VII a.C. Na Antiguidade, o estudo foi muito útil para resolver problemas de Astronomia. Por exemplo: saber a posição das estrelas pode ser utilizado para identificar a sua localização na Terra.
Tipos de Geometria
1. Geometria plana
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, quadriláteros, retângulos, circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos).
Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o perímetro e o(s) lado(s) de uma figura a partir das relações entre os ângulos e as outras medidas da forma geométrica. Veja as principais fórmulas para o cálculo de área e perímetro no final do post.
Algumas fórmulas de geometria plana:
1. Teorema de Pitágoras
Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).
Teorema de Pitágoras: a² + b² = c²
2. Lei dos Senos
Lembre que o Teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos. A lei dos senos e lei dos cossenos existe para facilitar os cálculos para todos os tipos de triângulos.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
3. Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos pode ser utilizada para qualquer tipo de triângulo, mesmo que ele não tenha um ângulo de 90º. Basta conhecer o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois lados (arestas) do triângulo.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
4. Relações métricas do triângulo retângulo
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são fórmulas simplificadas. Elas podem facilitar a resolução das questões em que o Teorema de Pitágoras é aplicável.
Para um triângulo retângulo, sua altura relativa à hipotenusa e as projeções ortogonais dos catetos, temos o seguinte:
Onde a é hipotenusa
b e c são catetos
m e n são projeções ortogonais
h é altura
2. Geometria espacial
É a frente matemática que estuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das formas que possuem três dimensões: comprimento, largura e altura.
Apenas as figuras de geometria espacial têm volume.
Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o prisma. Ele é uma figura formada por retângulos, e duas bases. Outros exemplos de figuras de geometria espacial são cubos, paralelepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas.
3. Geometria analítica
A geometria analítica utiliza coordenadas e funções do plano cartesiano para solucionar perguntas matemáticas. É a área da matemática que relaciona a álgebra com a geometria. A álgebra utiliza variáveis para representar os números e u utiliza fórmulas matemáticas.
Conhecer essa frente da matemática também é importante para resolver questões de Física. Por exemplo, o cálculo da área em um plano cartesiano pode informar o deslocamento (ΔS) se o eixo x e o eixo y informarem a velocidade e o tempo.
O primeiro passo para estudar essa matéria é aprender o conceito de ponto e reta.
Um ponto determina uma posição no espaço.
Uma reta é um conjunto de pontos.
Um plano é um conjunto infinito com duas dimensões.
Entender a relação entre ponto, reta e plano é importante para resolver questões com coordenadas no plano cartesiano, mas também para responder perguntas sobre a definição de ponto, reta e plano, e a posição relativa entre retas, reta e plano e planos.
Para representar um ponto (A, por exemplo) em um plano cartesiano, primeiro você deve indicar a posição no eixo x (horizontal) e depois no eixo y (vertical). Assim, segue as coordenadas seguem o modelo A (xa,ya).
Fórmulas de Geometria para o Enem
Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma propriedade para retas paralelas.
Fórmulas para cada figura de geometria:
Fórmulas básicas de geometria plana – Polígonos
O perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento do polígono.
Onde A é a área da figura, veja as principais fórmulas:
Fórmulas dos principais polígonos
Fórmulas da circunferência
Conversão para radiano, comprimento e área do círculo
Conversão de unidades: π rad corresponde a 180°.
Comprimento de uma circunferência: C = 2 · π · R.
Área de uma circunferência: A = π · R2
Fórmulas de geometria espacial
Fórmula do Poliedro: Relação de Euler
Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação de Euler:
Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade de arestas, temos:
V+F=A+2
Fórmulas da Esfera
Fórmulas do cone
Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura
Área lateral do cone: Š = π · R . g
Área da base do cone: A = π · R2
Área da superfície total do cone: S = Š + A
Volume do cone: V = 1/3 . A . H
Partes do cone
Fórmulas do cilindro
Área da base de um cilindro: Ab = π · r2
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r2 · h
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte será 2r · h
Fórmulas do prisma
O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas bases. Na imagem a seguir, o prisma tem base retangular, sendo um paralelepípedo. O cubo é um paralelepípedo e um prisma.
Fórmulas do prisma
Fórmulas da pirâmide regular
Pirâmide regular
Fórmulas do tetraedro regular
Fórmulas do tetraedro regular
Fórmulas de geometria analítica básica
Equação fundamental da reta
A equação fundamental da reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:
y – y0 = m(x – x0)
Equação reduzida e equação geral da reta
Distância entre dois pontos
FONTE: Geekie Games
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