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O que são pontos de máximo e de mínimo de uma função do segundo grau?

Dependendo do coeficiente de uma função do segundo grau, eles correspondem, respectivamente, a seus pontos mais alto e mais baixo.

Os pontos de máximo e de mínimo são definidos e discutidos apenas para funções do segundo grau, uma vez que eles podem existir em qualquer curva.

Antes, vamos relembrar: uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c. O gráfico desse tipo de função é a parábola, que pode ter sua concavidade voltada para baixo ou para cima. Além disso, nessa figura, existe um ponto chamado vértice, representado pela letra V, que é pode ser o ponto de máximo ou o ponto de mínimo da função.

Ponto de máximo (Valor Máximo)

Toda função do segundo grau com a < 0 possui ponto de máximo. Em outras palavras, o ponto de máximo somente é possível em funções com a concavidade voltada para baixo.

Ponto de mínimo (Valor Mínimo)

Toda função do segundo grau com o coeficiente a > 0 possui ponto de mínimo. Em outras palavras, o ponto de mínimo somente é possível em funções com concavidade voltada para cima.

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Qual a diferença entre círculo e circunferência?

Circunferências e círculos são figuras muito parecidas, mas com uma diferença muito importante: a circunferência é a borda do círculo. Isso é causa de muitas confusões e repercute diretamente tanto na definição dessas duas figuras geométricas quanto em algumas de suas propriedades.

Definição de circunferência

Dados um ponto C (chamado centro da circunferência) do plano e uma distância r (chamada raio da circunferência), uma circunferência é o conjunto de pontos desse mesmo plano cuja distância até o ponto C é igual a r. Isso é equivalente a dizer que, dado o ponto C, qualquer ponto P cuja distância até C seja igual a r pertencerá à circunferência.

Dessa maneira, considere os pontos A e B pertencentes a uma circunferência de centro C. A distância entre A e C é representada por dAC, e a distância entre B e C é representada por dBC. Nessas circunstâncias, dAC = dBC = r.

Digamos que um ponto P está no interior da circunferência e um ponto S está no exterior dessa figura. Nesse caso, os pontos P e S não pertencem à circunferência, pois:

dPC < r

dSC > r

Definição de círculo

O círculo é uma figura geométrica formada por uma parte de um plano que é limitada por uma circunferência. Em outras palavras, dados um ponto C (chamado centro do círculo) e uma distância r (chamada raio do círculo), o círculo é o conjunto de pontos cuja distância até C é igual ou menor que r. Matematicamente, o ponto P pertencerá ao círculo se:

dPC ≤ r

Portanto, de acordo com as duas definições acima, a circunferência possui os mesmos pontos que a borda de um círculo. Já o círculo possui todos os pontos internos de uma circunferência. Logo, o círculo é uma região plana, e a circunferência é uma linha.

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Permutação com elementos repetidos

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P₁₀ = 10! = 3.628.800

Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será:

Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n₁ vezes, n₂ vezes e n_n vezes. Então, a permutação é calculada:

Exemplo 1:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.

Exemplo 2:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Exemplo 3:
Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverá começar com a letra B?

B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
↓                          ↓
1                       P^2,3₇

1 . P^2,3₇ =   7!    = 420
                  2! . 3!

Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.

Autora: Danielle de Miranda

Fonte: Brasil Escola

Combinação Simples

Uma conceituada escola de idiomas está realizando uma promoção onde você escolhe três cursos, dos cinco disponíveis, e paga apenas ²/₃ do valor da mensalidade de cada um dos cursos escolhidos.

Podemos facilmente perceber que alguém que tenha escolhido os cursos de inglês, espanhol e alemão, fez as mesmas escolhas que outro alguém que tenha escolhido alemão, inglês e espanhol, por exemplo, pois a ordem dos cursos de idioma em si, não gera distinção entre uma escolha e outra.

Se alguém escolheu inglês, espanhol e alemão e outra pessoa escolheu inglês, espanhol e francês, também claramente podemos perceber que se tratam de escolhas distintas, pois nem todos os cursos que uma pessoa escolheu, são os mesmos escolhidos pela outra pessoa.

Considerando-se os 5 idiomas disponíveis, qual o número total de possibilidades se escolhermos três idiomas de cada vez?

Neste caso do curso de idiomas, podemos obter o número total de possibilidades, calculando inicialmente o arranjo simples A_5, 3:

Só que fazendo assim, estamos considerando distintos, os agrupamentos ( inglês, espanhol, alemão ) de ( espanhol, inglês, alemão ), por exemplo, e de todas as suas permutações.

Como sabemos, a permutação de 3 elementos, P₃ é igual a 3!, que é igual a 6, portanto se dividirmos 60 por 6, estaremos eliminando as ocorrências duplicadas em função da mera mudança de ordem dos elementos. Assim sendo, 60 : 6 = 10.

Portanto o número de opções possíveis é igual a 10.

Combinação Simples

Este exemplo é o típico caso, onde agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples.

Fórmula da Combinação Simples

Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

Ao utilizarmos a fórmula neste nosso exemplo, temos:

Exemplos

Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco?

Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcular C_12, 4:

Portanto:

Posso separá-las de 495 modos diferentes.

Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis?

Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas. Temos um caso de combinação simples que será resolvido através do cálculo de C_7, 2:

Logo:

Serão disponíveis 21 sabores diferentes.

As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas?

Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples, pois a ordem das crianças é irrelevante, não causando distinção entre os agrupamentos com elementos distintos. Vamos calcular C_14, 5:

Então:

As crianças poderão ser agrupadas de 2002 maneiras diferentes.

Fonte: Matemática Didática

Arranjo Simples

No campeonato mundial de Fórmula 1 de 2009, participaram 25 pilotos, dos quais se destacaram o inglês Jenson Button, que foi o campeão, o alemão Sebastian Vettel, que foi o vice-campeão e o brasileiro Rubens Barrichello, que ficou com a terceira colocação.

Obviamente o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ) difere do agrupamento ( Sebastian Vettel, Jenson Button, Rubens Barrichello ), pois neste caso a ordem no grupo é um fator que o diferencia.

Se ao invés do brasileiro Rubens Barrichello, o terceiro colocado tivesse sido o australiano Mark Webber, o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Mark Webber ) seria distinto do agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ), pois teríamos participantes diferentes nestes agrupamentos.

Arranjo Simples

Em casos como este, com elementos distintos, onde tanto a ordem de posicionamento no grupo, quanto a natureza dos elementos, os elementos em si, causam diferenciação entre os agrupamentos, estamos diante de um caso de arranjos simples.

Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados?

Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:

25 . 24 . 23 = 13800

Isto é, 13800 possibilidades.

Fórmula do Arranjo Simples

Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

Neste mesmo exemplo, utilizando a fórmula temos:

Exemplos

Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?

Neste exemplo temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A_8, 8:

Portanto:

Podemos formar 40320 anagramas com as letras da palavra PADRINHO.

Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?

Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos. Devemos calcular A_10, 2:

Então:

Podem ser realizados 90 jogos entre os times participantes.

Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?

Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A_7, 3:

Logo:

210 são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados.

Fonte: Matemática Didática

Análise Combinatória: Fatorial e o Principio Fundamental da Contagem

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800

Princípio Fundamental da Contagem
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Exemplo 1

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Exemplo 2

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?

Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.

Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

Fonte: Brasil Escola

Permutação Simples

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

Exemplo 1
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
Resolução:
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.
P = 4! = 24

Exemplo 2
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.
P = n!
P = 5!
P = 5*4*3*2*1
P = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.

Exemplo 3
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher
Resolução
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6*6) * 10!
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades

Fonte: Brasil Escola

Autor: Marcos Noé - Graduado em Matemática

Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem

"O princípio fundamental da contagem é o principal conceito ensinado na análise combinatória. É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de fatorial, combinação, arranjo, permutação. Entender esse princípio é essencial para compreender situações que envolvem contagem.

Esse princípio afirma que, se eu preciso tomar mais de uma decisão e cada uma delas pode ser tomada de x, y, z maneiras, para sabermos a quantidade de formas que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente, basta calcular o produto dessas possibilidades."

"O que é o princípio fundamental da contagem?

O princípio fundamental da contagem é uma técnica para calcularmos de quantas maneiras decisões podem combinar-se. Se uma decisão pode ser tomada de n maneiras e outra decisão pode ser tomada de m maneiras, o número de maneiras que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente é calculado pelo produto de n · m.

Analisar todas as combinações possíveis sem utilizar o princípio fundamental da contagem pode ser bastante trabalhoso, o que faz com que a fórmula seja muito eficiente.

Exemplo

Em um restaurante, é oferecido o famoso prato feito. Todos os pratos possuem arroz, e o cliente pode escolher uma combinação entre 3 possibilidades de carne (bovina, de frango e vegetariana), 2 tipos de feijão (caldo ou tropeiro) e 2 tipos de bebida (suco ou refrigerante). De quantas maneiras distintas um cliente pode fazer o pedido?"

"Note que há 12 possibilidades de escolha, mas era possível chegar a esse número realizando a simples multiplicação das possibilidades por meio do princípio fundamental da contagem, logo o número de combinações de pratos possíveis poderia ser calculado por:

2 · 3 · 2 = 12.

Perceba que, quando meu interesse é saber somente o total de possibilidades, realizar a multiplicação é muito mais rápido do que construir qualquer esquema para analisar, o que pode ser bastante trabalhoso, caso haja mais e mais possibilidades."

"Quando utilizar o princípio fundamental da contagem?

Existem várias aplicações do princípio fundamental da contagem. Ele pode ser aplicado, por exemplo, em várias decisões da informática. Um exemplo são as senhas que exigem o uso de pelo menos um símbolo, o que faz com que o número de combinações possíveis seja muito maior, deixando o sistema mais seguro.

Outra aplicação é no estudo das probabilidades. Para calculá-las, precisamos saber a quantidade de casos possíveis e a quantidade de casos favoráveis. A contagem dessa quantidade de casos possíveis e favoráveis pode ser feita por meio do princípio fundamental da contagem. Esse princípio gera também as fórmulas de permutação, combinação e arranjo.

Exercícios resolvidos

1) (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Resolução

Pelo princípio fundamental da contagem, o número de possíveis respostas será igual ao produto das quantidades de personagens, objetos e cômodos.

5 · 6 · 9 = 270.

Como o número de alunos é 280, então a diferença entre a quantidade de número de alunos e a quantidade de possibilidades é 10.

Resposta: alternativa A.

2) (Enem) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três espécies de mamíferos – uma do grupo dos Cetáceos, outra do grupo dos Primatas e a terceira dos grupos dos Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:

a) 1320

b) 2090

c) 5840

d) 6600

e) 7245.

Resolução:

Sabemos que há 2 cetáceos, 20 primatas e 33 roedores. Então, pelo princípio fundamental da contagem, o número de conjuntos distintos possíveis será:

2 ·20 ·33 = 1320

Resposta: alternativa A.

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REFERÊNCIA:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Princípio fundamental da contagem"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatorial-principio-fundamental-da-contagem.htm. Acesso em 02 de junho de 2022.

Exercícios sobre adição e subtração de monômios com respostas e cálculos

Para solucionar estes exercícios sobre adição e subtração de monômios, devemos somar coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal.

Questão 1

Faça o agrupamento dos monônimos abaixo:

a) 3ax + 5bx – 12 ax – 15 bx + 4x =

b) 15y – 4z + 3x + 12y – 20z =

c) 24aw + 6x – 12aw – 6x =

Questão 2

Resolva as adições de monômios abaixo:

a) 15ax + 6ax =

b) 1by + 15by =
2 6

c) 32cz³+ 24cz³ =

Questão 3

Resolva as subtrações abaixo:

a) 25x – 42x =
3
b) – 102ax² + 202ax² =

c) 12by – 7by =

Questão 4

Utilizando o agrupamento, resolva as expressões numéricas abaixo:

a) 2x² + 20y³ – 15y³ – 36x²=

b) 6x² - 7 x²+ 28 x²=
10

RESPOSTAS

Resposta Questão 1

Para solucionar as alternativas da questão número 1, é importante lembrar que agrupamos somente monômios semelhantes, ou seja, que possuem mesma variável ou partes literais iguais.

a) 3ax + 5bx – 12 ax – 15 bx + 4x =

Agrupe os termos semelhantes:

= 3ax – 12ax + 5bx – 15bx + 4x =

= - 9ax – 10 bx + 4x =

Para obtermos a forma reduzida dessa expressão, coloque o x em evidência:

= x (– 9a – 10b + 4)

b) 15y – 4z + 3x + 12y – 20z =

Agrupe os termos semelhantes:

= 15y + 12y – 4z – 20z + 3x =

= 27y – 24z + 3x

c) 24aw + 6x – 12aw – 6x =

Agrupe os termos semelhantes:

= 24aw – 12aw + 6x – 6x =

= 12aw + 0 =

= 12aw

Resposta Questão 2

a) 15ax + 6ax =

A parte literal dos dois monômios é idêntica. Com isso, devemos somar os coeficientes e conservar a parte literal.

(15 + 6) . ax = 21ax

Sendo assim: 15ax + 6ax = 21ax

b) 1by + 15by =
2 6

Inicialmente teremos que fazer o MMC de 2 e 6. MMC (2, 6)

2, 6| 2
1, 3| 3
1, 1|
MMC (2,6) = 2 . 3 = 6

Agora devemos reduzir as frações ao mesmo denominador.

= 3by + 15by =
6 6

Como as frações possuem o mesmo denominador, podemos somar os coeficientes dos monômios que estão no numerador:

= 18by =
6
Dividindo 18 por 6, obteremos como resultado:

= 3by

Sendo assim: 1by + 15by = 3by
2 6

c) 32cz³+ 24cz³ =

Como a parte literal dos dois monômios é idêntica, devemos somar os coeficientes e conservar a parte literal.

(32 + 24) . cz³ = 56cz³

Sendo assim: 32cz³+ 24cz³ = 56cz³

Resposta Questão 3

a) 25x – 42x =
3

Para solucionar esse exercício, devemos inicialmente encontrar o MMC (3, 1):
3, 1| 3
1, 1|

MMC (3, 1) = 3

Agora devemos reduzir as frações ao mesmo denominador.

= 25x – 126x =
3 3

Como as frações possuem o mesmo denominador, podemos agora subtrair os coeficientes que estão no numerador.

= – 101 x
3

Sendo assim: 25x – 42x = – 101 x
3 3

b) – 102ax² + 202ax² =

A parte literal que compõe os monômios é idêntica. Devemos, então, subtrair os coeficientes:

(– 102 + 202) . ax² = + 100ax²

Sendo assim: – 102ax² + 202ax² = + 100ax²

c) 12by – 7by

Observe que a parte literal em ambos os monômios é idêntica (by), logo, podemos subtrair os coeficientes:

(12 – 7) . by = 5by

Sendo assim: 12by – 7by = 5by

Resposta Questão 4

a) 2x² + 20y³ – 15y³ – 36x²

Para resolver essa expressão, devemos agrupar os coeficientes que possuem a mesma parte literal.

2x² – 36x²+ 20y³– 15y³

Agora que os termos semelhantes estão agrupados, resolvemos:2x² – 36x² e+ 20y³ – 15y³

34x² + 5y

b) 6x² - 7 x²+ 28 x²=
10

Como o denominador é 10 para todos os monômios do numerador, não é necessário fazer o MMC. Observe que a parte literal é a mesma, assim, precisamos somente efetuar as operações com os coeficientes e conservar a parte literal.

(6 - 7 + 28) . x² =
10

= + 27x²=
10

= 2,7x²

^{Fonte: Mundo Educação}

#SuperReforçoEmSuaCasa: Polígonos Inscritos e Circunscritos

Polígonos inscritos são aqueles que estão no interior de uma circunferência, de modo que todos os seus vértices são pontos dela. Já os polígonos circunscritos estão no exterior de uma circunferência e apresentam todos os seus lados tangentes a ela. Observe as seguintes imagens:

Veja que todos os vértices do hexágono acima também são pontos pertencentes à circunferência ao seu redor. É nessa situação que dizemos que o hexágono é inscrito na circunferência ou que a circunferência circunscreve o polígono.

Nessa segunda imagem, é o polígono que circunscreve a circunferência. Também podemos dizer, nesse caso, que a circunferência está inscrita no polígono. Observe que, para isso, todos os lados do polígono são tangentes à circunferência.

Elementos do polígono regular inscrito

Centro do polígono regular

É o centro da circunferência onde esse polígono está inscrito. Pode ser encontrado a partir do ponto de encontro entre duas mediatrizes de lados distintos do polígono.

Raio do polígono regular

É o elemento que parte do centro de um polígono regular até um de seus vértices e tem a mesma medida do raio da circunferência na qual o polígono regular está inscrito.

Apótema

É o segmento de reta que liga o centro de um polígono regular ao ponto médio de um de seus lados. A apótema sempre forma um ângulo reto com o lado do polígono que ela toca.

Exemplo de centro, raio e apótema do polígono regular

Nessa imagem, r é o raio do polígono regular inscrito, o ponto O é seu centro e o segmento a é apótema.

Propriedades

As propriedades a seguir são válidas apenas para polígonos regulares, isto é, polígonos que possuem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos congruentes.

1 – Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência;

2 – Todo polígono regular pode ser circunscrito em uma circunferência;

3 – As mediatrizes dos lados de um polígono regular encontram-se no centro da circunferência que o circunscreve;

Em outras palavras, se um polígono regular está inscrito em uma circunferência, as mediatrizes de seus lados encontram-se no centro da circunferência, também chamado centro do polígono inscrito. A imagem a seguir ilustra essa situação:

4 – Em um polígono regular inscrito em uma circunferência, todos os ângulos centrais, cujos lados são formados por dois raios consecutivos do polígono regular inscrito, são congruentes. Além disso, é possível determinar sua medida dividindo 360° pelo número de lados do polígono.

Ângulo cujos lados são raios consecutivos do polígono regular inscrito

Autor: Luiz Paulo Moreira - Graduado em Matemática

Fonte: Escola Kids

#SuperReforçoEmSuaCasa: Porcentagens (7º Ano Fundamental)

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%.
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00.
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00.
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos

Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

Exercícios

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?