Combinação Simples

Uma conceituada escola de idiomas está realizando uma promoção onde você escolhe três cursos, dos cinco disponíveis, e paga apenas 2/3 do valor da mensalidade de cada um dos cursos escolhidos.
Podemos facilmente perceber que alguém que tenha escolhido os cursos de inglêsespanhol e alemão, fez as mesmas escolhas que outro alguém que tenha escolhido alemãoinglês e espanhol, por exemplo, pois a ordem dos cursos de idioma em si, não gera distinção entre uma escolha e outra.
Se alguém escolheu inglêsespanhol e alemão e outra pessoa escolheu inglêsespanhol e francês, também claramente podemos perceber que se tratam de escolhas distintas, pois nem todos os cursos que uma pessoa escolheu, são os mesmos escolhidos pela outra pessoa.

Considerando-se os 5 idiomas disponíveis, qual o número total de possibilidades se escolhermos três idiomas de cada vez?

Neste caso do curso de idiomas, podemos obter o número total de possibilidades, calculando inicialmente o arranjo simples A5, 3:
Só que fazendo assim, estamos considerando distintos, os agrupamentos ( inglês, espanhol, alemão ) de ( espanhol, inglês, alemão ), por exemplo, e de todas as suas permutações.
Como sabemos, a permutação de 3 elementos, P3 é igual a 3!, que é igual a 6, portanto se dividirmos 60 por 6, estaremos eliminando as ocorrências duplicadas em função da mera mudança de ordem dos elementos. Assim sendo, 60 : 6 = 10.
Portanto o número de opções possíveis é igual a 10.

Combinação Simples

Este exemplo é o típico caso, onde agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples.

Fórmula da Combinação Simples

Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:
Ao utilizarmos a fórmula neste nosso exemplo, temos:

Exemplos

Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco?
Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcular C12, 4:
Portanto:
RespostaPosso separá-las de 495 modos diferentes.

Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis?
Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas. Temos um caso de combinação simples que será resolvido através do cálculo de C7, 2:
Logo:
RespostaSerão disponíveis 21 sabores diferentes.

As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas?
Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples, pois a ordem das crianças é irrelevante, não causando distinção entre os agrupamentos com elementos distintos. Vamos calcular C14, 5:
Então:
RespostaAs crianças poderão ser agrupadas de 2002 maneiras diferentes.

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