#SuperReforcoEmSuaCasa: Critérios de Divisibilidade (6º Ano Fundamental)

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:1800 é divisível por 4, pois termina em 00.4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 7:

Esse critério é diferente dos demais, mas é bem simples. Para verificarmos se um número é divisível por 7, basta multiplicar o último algarismo por 2 e com o resultado subtrair dos números que sobraram (não incluir o último), se esse resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Se o número foi grande, repetir o processo até conseguir verificar se o número é divisível por 7. Segue o exemplo:

574: separar o último número e multiplicar por 2 => 4 x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que sobrou 57 – 8 = 49. Como 49 é divisível por 7, então, o número 574 é divisível por 7.

7.644: separar o último número de multiplicar por 2 => 4 x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que sobrou 764 – 8 = 756. Como o número é grande, repetimos o processo. Separar o último número de multiplicar por 2 => 6x 2 = 12; desse resultado, subtrair do número que sobrou 75 – 12 = 63. Como 63 é divisível por 7, então o número 7.644 é divisível por 7.

Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:1) 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Fontes: Só Matemática e Brasil Escola

Matemática no Enem: professores listam estratégias para estudo da disciplina

Há quem não tenha dificuldade com a Matemática. Uma grande parte, no entanto, ainda a vê como um enigma sem solução. Mesmo com as diferentes percepções, todos os 5,5 milhões de brasileiros que farão o Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) em novembro terão que encarar a disciplina para receber uma boa pontuação.

Há menos de dois meses do exame, os candidatos se dividem entre aqueles que já estão se preparando desde o início do ano e os que estão começando agora. 

Para aqueles que estão começando a estudar agora, um estudo intensivo com os principais assuntos deve ser feito até próximo à prova. E os professores dão a dica: além de estudar bastante, é preciso fazer simulados, ver as provas anteriores e ter sempre cuidado com o tempo.

“Para esses alunos, focar nos assuntos que mais caem, fazer provas dos anos anteriores, simulados e preparar a gestão do tempo é superimportante. A melhor estratégia nesse ponto é, na hora da prova, fazer as questões fáceis e deixar as difíceis para o final. É preciso gerenciar muito bem o tempo da prova, que tem 90 questões. É preciso ainda marcar o gabarito com muita tranquilidade”, apostou o professor do colégio e pré-vestibular Bernoulli Léo Santana. O professor ainda lembrou que os alunos ganharam 30 minutos a mais no segundo dia.

O professor Cláudio Barreto, conhecido como Tio Chico, que é do Instituto Dom de Educar, da Rede FTC, orienta que os retardatários iniciem os estudos com a proporcionalidade: razão, proporção, regra de três, progressão aritmética, juros simples e função de primeiro grau. “Com isso, ele vai pegar um grande leque da prova”.

O professor afirmou que o próximo passo é estudar análise combinatória, probabilidade e suas teorias, estatística, geometria plana e espacial.

Fórmulas

A dica para aqueles que vêm estudando desde o início do ano é manter a disciplina diária, separar os últimos 15 dias antes da prova para revisar questões e formar grupo de estudos. “É importante manter a disciplina de estudo, mas de uma forma que não sobrecarregue o aluno, para não ficar cansativo. Revisar questões, ver as fórmulas e os assuntos é muito importante”, disse o professor do colégio e pré-vestibular Bernoulli, Léo Santana. 

A orientação para os alunos é de, ao longo do ano, separar as anotações principais dos assuntos e as fórmulas que precisam levar na cabeça para a prova (veja algumas na página ao lado). “Eles precisam, dentro de cada assunto, conseguir fazer esses pequenos resumos com fórmulas básicas para ficar no dia a dia. É preciso fazer uma revisão continuada, estudando e revisando todas as matérias”, disse Santana.

Os treineiros - estudantes que não terminaram o ensino médio, mas fizeram o Enem - podem testar seus conhecimentos e ver em quais assuntos tiveram pior desempenho, focando neles.

Os assuntos que mais caem

Para aqueles que não começaram a estudar para o Enem ainda, os professores de matemática Léo Santana, do Bernoulli, e Claudio Barreto, do FTC, listaram os assuntos que deverão cair na prova.

“Com certeza, cai resolução de problemas, as equações de 1º e 2º grau; os problemas de raciocínio lógico como regra de três e porcentagem; as funções de 1º e 2º grau exponencial; análise combinatória e probabilidade com raciocínio lógico e interpretação; gráficos e infográficos com estatística; geometria plana e espacial, entre áreas e volumes; além da trigonometria, principalmente a do triângulo retângulo e progressão aritmética e progressão geométrica”, listou Léo Santana.

O professor Claudio Barreto listou progressão aritmética; progressão geométrica; juros simples e compostos; arranjo, permutação e combinação na análise combinatória; probabilidade de evento simples e probabilidade condicional, que cai todos os anos; áreas de figuras planas como quadrado, retângulo, hexágono e círculo; dentro da geometria espacial, as áreas e volumes dos principais sólidos. Os mais frequentes sólidos de acordo com o professor são os cilindros, paralelepípedos, prismas, esferas e cones.

Para quem prefere confiar nos números, um levantamento realizado pela plataforma de educação SAS sobre Matemática com as provas do Enem de 2009 a 2017 lista os assuntos que mais caíram em matemática. O primeiro é geometria, que caiu em 206 questões das últimas oito provas aplicadas (25,4% dentre os 810 itens analisados). Em segundo lugar ficaram escala, razão e proporção, com 110 questões (13,6%). Em terceiro, aritmética, com 105 questões (13% das vezes). Veja lista completa no box abaixo. 

                           

ASSUNTOS                                           Quantas vezes caiu*                  Porcentagem  

Geometria                                                         206                                        25,4%

Escala, razão e proporção                               110                                         13,6%

Aritmética                                                         105                                         13%

Funções                                                            74                                           9,1%

Porcentagem                                                    64                                            7,9%

Gráficos e tabelas                                            63                                            7,8%

Estatística                                                        55                                            6,8%

Probabilidade                                                  47                                             5,8%

Equações elementares                                   21                                             2,6%

Análise combinatória                                      21                                             2,6%

Sequências                                                     18                                             2,2%

Números inteiros e reais                                 13                                             1,6%

Trigonometria                                                  10                                              1,2%

Notação científica                                            2                                               0,2%

Matriz                                                               1                                               0,1%                  

*TOTAL = 810 questões

Fonte: Correio

Função inversa

Consideremos os conjuntos A={0,2,4,6,8} e B={1,3,5,7,9} e a função f:AB definida por y=x+1. A função f está representada no diagrama abaixo:

A função f é bijetora. A cada elemento x de A está associado um único elemento y de B, de modo que y=x+1. Porém, como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de modo que x=y-1; portanto temos uma outra função g:BA, de modo que x=y-1 ou g(y)=y-1. Essa função está representada no diagrama abaixo:

Pelo que acabamos de ver, a função f leva x até y, enquanto a função g leva y até x. A função g:BA recebe o nome de função inversa de f e é indicada por f-1.

O domínio de f é o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f é o domínio de g. Quando queremos, a partir da sentença y=f(x), obter a sentença de f-1(x), devemos realizar os seguintes passos:

1º) Isolamos x na sentença y=f(x)
2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x.

Por exemplo, para obter a função inversa de f:IRIR definida por y=2x+1, devemos:

1º) isolar x em y=2x+1. Assim y=2x+1  y-1=2x   x=(y-1)/2
2º) trocar x por y e y por x: y=(x-1)/2.

Portanto a função inversa de f é: f-1(x)=(x-1)/2.

Observação: Para que uma função f admita a inversa f-1 é necessário que ela seja bijetora. Se f não for bijetora, ela não possuirá inversa.

Exercício resolvido

* Esse conteúdo foi criado pelo Só Matemática. Os gráficos e diagramas foram retirados do livro Matemática - Volume Único. Ed.Saraiva.

Fonte: Só Matemática

Função composta

Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta. Consideremos os conjuntos:

A={-2,-1,0,1,2}
B={-2,1,4,7,10}
C={3,0,15,48,99}

E as funções:
f:AB definida por f(x)=3x+4
g:BC definida por g(y)=y2-1

Como nos mostra o diagrama acima, para todo x  A temos um único y  B tal que y=3x+4, e para todo y  B existe um único z  C tal que z=y2-1. Então, concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x)=z ou h(x)=9x2+24x+15, pois:
h(x)=z     h(x)= y2-1

E sendo y=3x+4, então h(x)=(3x+4)2-1   h(x)= 9x2+24x+15.

A função h(x) é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por g o f(lemos “g composta com f”) ou g[f(x)] (lemos “g de f de x”). Vamos ver alguns exercícios para entender melhor a ideia de função composta.

Exercícios resolvidos

1) Dadas as funções f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)].

Resolução:
f[g(x)] = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1
g[f(x)] = g(x2-1) = 2(x2-1) = 2x2-2

2) Dadas as funções f(x)=5x e f[g(x)]=3x+2, calcule g(x).

Resolução: 
Como f(x)=5x, então f[g(x)]= 5.g(x).
Porém, f[g(x)]=3x+2, logo:
5.g(x)=3x+2, e daí g(x)=(3x+2)/5

3) Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine f[g(3)].

Resolução: g(3)=3.3-4=5  f[g(3)]= f(5)= 52+1 = 25+1= 26.

Fonte: Só Matemática

Função crescente e função decrescente

Dada uma função f: AB, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’A, se, e somente se, para quaisquer x1  A’ e x2  A’, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2).

Por exemplo, a função f: IRIR definida por f(x)=x+1 é crescente em IR, pois:
x1<x2 => x1+1<x2+1 => f(x1)<f(x2)

Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas imagens também crescem.

Por outro lado, dada uma função f: AB, dizemos que f é decrescente em algum conjunto A’  A, se, e somente se, para quaisquer x1  A’ e x2  A’, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2).

Por exemplo, a função f: IRIR definida por f(x)=-x+1 é decrescente em IR, pois:
x1<x2 => -x1>-x2 => -x1+1>-x2+1 => f(x1)>f(x2).

Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas correspondentes imagens decrescem. Exemplos:

Este é um exemplo de função crescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando.

Este é um exemplo de função decrescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo.

Fonte: Só Matemática

Função par e função ímpar

Dada uma função f: AB, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par:

Por exemplo, a função f: IRIR definida por f(x)=x2 é uma função par, pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico:

Notamos no gráfico que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos 2 e –2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4.

Por outro lado, dada uma função f: AB, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x  A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função ímpar:

Por exemplo, a função f: IRIR definida por f(x)=x3 é uma função ímpar, pois f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x). Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico:

Notamos no gráfico que existe uma simetria em relação a origem 0. Elementos simétricos têm imagens simétricas. Os elementos 1 e –1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e –1 (que também são simétricas).

Obs: Uma função que não é par nem ímpar é chamada função sem paridade.

Exercício resolvido:

Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade:

a) f(x)=2x
f(-x)= 2(-x) = -2x  f(-x) = -f(x), portanto f é ímpar.

b) f(x)=x2-1 
f(-x)= (-x)2-1 = x2-1  f(x)=f(-x), portanto f é par.

c) f(x)=x2-5x+6
f(-x)= (-x)2-5(-x)+6 = x2+5x+6

Como f(x)f(-x), então f não é par.

Temos também que –f(x)f(-x), logo f não é ímpar.
Por não ser par nem ímpar, concluímos que f é função sem paridade.

Fonte: Só Matemática

Propriedades de uma função (funções sobrejetora, injetora e bijetora)

Estas são algumas propriedades que caracterizam uma função f:AB.

Função sobrejetora

Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. Exemplo:

Função injetora

A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto, não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Exemplo:

Por exemplo, a função f:IRIR definida por f(x)=3x é injetora, pois se x1x2 então 3x13x2, portanto f(x1)f(x2).

Função bijetora

Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: IRIR definida por y=3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta função é bijetora.

Já a função f: ININ definida por y=x+5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomínio CD=IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm imagens distintas. Então essa função não é bijetora.

Resumindo, observe os diagramas abaixo:

	Essa função é sobrejetora, pois não sobra elemento em B. Essa função não é injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem. Essa função não é bijetora, pois não é injetora.
	Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. Essa função não é sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B. Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora.
	Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. Essa função é sobrejetora, pois não existem elementos sobrando em B. A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.

Fonte: Só Matemática